STATOSKOPET

(Erik Nord, 1999)

 

En hjelp til å forstå elementær statistikk og til å bedømme usikkerhet i forskningsresultater basert på tilfeldige utvalg.

 

Home (åpningsside)

 

Følgende begreper forklares:

1  Variasjon og normalfordeling

2  Standardavvik

3  Utvalgsvariasjon og standardfeil

4  Konfidensintervall

5  Standardfeilen for en prosentandel

6  Standardfeilen for en forskjell

7  P-verdi

8  T-verdi

9  Korrelasjonsanalyse

10 Regresjonsanalyse

11 Forklart varians

12 Relativ risiko

13 Oddsratio

 

1 Variasjon og normalfordeling: Enhver egenskap eller effekt av et tiltak i en populasjon har en spredning rundt et gjennomsnitt. En normalfordeling er en symmetrisk, klokkeformet spredning om midtpunktet.. 

 

2 Standardavvik (SA)  er et mål på graden av spredning rundt gjennom-snittet. I en normalfordeling angir et standardavvik den avstand fra gjennomsnittet som 68 prosent av populasjonen ligger innenfor.  95 prosent av en normalfordelt populasjon ligger innenfor en avstand av 2 standardavvik fra gjennomsnittet.

 

3 Utvalgsvariasjon og standardfeil: Trekker man flere tilfeldige utvalg fra samme populasjon, vil gjennomsnittsverdiene i utvalgene variere noe rundt gjennomsnittsverdien for populasjonen som helhet. Graden av spredning i gjennomsnittene kan uttrykkes ved deres standardavvik. Dette standardavviket forteller hvor stor unøyaktighet man må forvente hvis man generaliserer til populasjonen som helhet ut fra gjennomsnittet i et enkelt utvalg. Gjennomsnittenes standardavvik kan anslås ved at man dividerer standardavviket i det utvalget man  har trukket med kvadratroten av antall personer (N) i utvalget (eksempel 1). Resultatet kalles standardfeilen (SF) for gjennomsnittet i utvalget  når dette brukes som estimat for gjennomsnittet i populasjonen.

 

Eksempel 1: I et utvalg på 100 er gj.snittsblodtrykket 130 mm og standardavviket 20 mm. => SF = 20/100 = 2 mm.

 

4 Konfidensintervall: Gjennomsnittet i populasjonen som helhet ligger med  95 % sannsynlighet innenfor en avstand av 2 standardfeil  fra gjennomsnittet i utvalget. Området ’utvalgsgjennomsnitt +/- 2 standardfeil’ kalles 95-prosent  konfidens-intervallet (KI) for gjennomsnittet i populasjonen (eksempel 2). 

 

Eksempel 2: I eksempel 1 er 95 % KI = 130 +/-  2x2  =126–134 mm.

                  

5 Standardfeilen for en prosentandel:  Ofte måles prosentandelen (P) som har en bestemt egenskap,  snarere enn  gjennomsnittsskåren på  egenskapen.  SF(P) =  P(100-P)/N, når N er  utvalgsstørrelsen (eksempel 3).

 

Note 3:  100 fikk medisin, 10 % ble friske. =>

SF(P) =  (10x90)/100  = 3 %.

 

6 Standardfeilen for en forskjell mellom to gjennomsnitt eller to prosentandeler:  SF(Diff) =  SF12   +  SF2 2  , der SF1 og SF2 er standardfeilene for hvert av gjennom-snittene/prosentandelene (eksempel 4).

 

Eksempel 4:  60 % av 100  reagerte positivt på  medikament A, mens 50 %  i en annen tilfeldig gruppe på 144 personer reagerte  positivt på placebo. =>  SF1 = 4.9 %, SF2 = 4.2 %, SF(Diff) = 6.4 %,  KI = 10 +/- 12.8 %, dvs fra –2.8 %  til +22.8 %.

 

7 P-verdi: På grunn av tilfeldig variasjon kan grupper som egentlig er like, skåre ulikt i utvalgsundersøkelser. Anta at en undersøkelse viser en viss forskjell mellom to grupper.  Sannsynligheten for å trekke et utvalg som viser minst så stor forskjell når det egentlig ikke er forskjell, kalles forskjellens p-verdi (eksempel 5). Jo lavere p-verdien er, jo mer statistisk signifikant anses den observerte forskjellen å være.

 

Eksempel 5. Forekomsten av en sykdom var 10 prosent i en behandlingsgruppe på 100 personer, mot 15 prosent i en like stor kontrollgruppe. Sjansen for å finne en så stor forskjell hvis behandlingen i virkeligheten var virkningsløs, er 28  %. Dvs. at den observerte forskjellen har en p-verdi på 0.28.

 

NB! Den vekten en bør tillegge en observert forskjell avhenger på den ene side av p-verdien, og på den annen side av hvor rimelig forskjellen virker ut fra det en ellers vet. Er forskjellen uforståelig, vil en betrakte den som tilfeldig med mindre p-verdien er svært lav.

 

8 T-verdi: Dividerer man en forskjell på forskjellens standardfeil (se foran), får man forskjellens t-verdi, se eksempel 6. Høy t-verdi betyr at forskjellen er stor i forhold til den statistiske feilmarginen, og derfor overbevisende. Det er en direkte sammenheng mellom t-verdier og p-verdier. Har man mange observasjoner, gjelder tallene til høyre.

 

Eksempel 6. Observert en forskjell  20 mm blodtrykk mellom en behandlingsgruppe og en kontrollgruppe. SF  beregnes til å være 10 mm. =>  t-verdi =  2.0.

 

t-verdi:  1.0    1.5    1.7    2.0    2.6

p-verdi: 0.32  0.13  0.09  0.05  0.01

 

9 Korrelasjonsanalyse forteller hvor sterkt to egenskaper  samvarier i et utvalg av subjekter.  Samvariasjonen uttrykkes som en koeffisient   r mellom –1 og  +1.  Standardfeilen for r  brukt som estimat for hele  populasjonen: SF(r) =  (1 – r2) /  N, når N er utvalgsstørrelsen (eks. 7).

 

Note 7.: N = 100, r = 0.8 gir SF (r) = 0.036 og 95% KI = 0.8 +/- 0.072 = 0.73 – 0.87.

 

10 Regresjonsanalyse viser hvordan  subjekters skåre på én egenskap (avhengig variabel) påvirkes av deres skårer  på andre egenskaper (forklaringsvariable), se eksempel 8 på såkalte ustandardiserte regresjons-koeffisienter. Det kan også beregnes standardiserte koeffisienter, se eksempel 9. Disse viser hvilke forklaringsvariable som betyr mest for den avhengige variabelen.

 

Eksempel 8. Ustandardisert regresjons-likning. Blodtrykk = B + 0.8 x  År + 0.6 x Kg. Likningen forteller at blodtrykket i gjennomsnitt øker med 0.8 mm per år ved uendret kroppsvekt, og med 0.6 mm når kroppsvekten øker med en kilo og alderen er uendret.

 

Eksempel  9.  Anta at man sammenlikner personer med gjennomsnittlig kroppsvekt med personer med kroppsvekt et standardavvik over gjennomsnittet. Personene er ellers like. Anta at blodtrykket hos de sistnevnte ligger et halvt standardavvik over gjennomsnittlig blodtrykk. => standardisert regresjonskoeffisient = 0.5.

 

11 Forklart varians: Figur 4 (KOMMER!) illustrerer regresjonsanalyse i det enkleste tilfellet med bare en forklaringsvariabel. Det er plottet inn et utvalg personer med skårer på egenskapene X og Y.    Y har de en spredning rundt et gjennomsnitt y0.  Noe av denne spredningen skyldes spredning på X. Regresjonsanalysen anslår  gjennomsnitts-verdier for Y gitt ulike verdier for X, jfr skrålinjen i figuren.  Spredningen rundt denne linjen er mindre enn spredningen  rundt gjennomsnittet for y.  Reduksjonen i spredning kalles forklart  varians. Den beregnes som en prosent og  betegnes R2. Høy R2  indikerer at forklaringsmodellen som helhet er god. 

 

12 Relativ risiko: Er risikoen for sykdom  20 % i en gruppe og 10 % i en annen, er den relative risikoen (RR) i den første gruppen  20:10 = 2.0.

 

13 Oddsratio:  Er risikoen for sykdom i en gruppe 20 %, er oddsen 20/80 = 1/4. Er risikoen 10 % i en annen gruppe, er oddsen her 10/90 = 1/9.  Oddsratioen (OR) blir da: ¼ : 1/9 = 2,25.  Oddsratio er tilnærmet lik relativ risiko hvis begge risikoer er under 20-30 %, se tabellen.

 

          R1

R2

            5 %

           20 %

           50 %

5 %

RR og OR = 1  

RR=4, OR=4,75      

RR=10,  OR=19

20 %

RR=0,25, OR=0,21    

RR og OR = 1          

RR=2,5, OR=  4